Finding polynomials to count lattice points; Computer explorations with MuPAD-Combinat

We are interested in Algebraic Combinatorics, a subject we give an overview, and in Symbolic Computation. In this paper we describe a problem we recently encountered in some experiments we are still carrying on. This problem is about generating polynomials counting lattice points in certain particular types of convex polytopes. The lattice points numbers are interpreted as Kostka numbers and Littlewood-richardson coefficients and they are of great interest in algebraic combinatorics. For some demonstrations, we make use of MuPAD-Combinat, an open-source algebraic combinatorics package for the computer algebra system MuPAD. RÉSUMÉ. Nos travaux se situent dans les domaines de la Combinatoire Algébrique dont nous faisons une brève présentation, et du Calcul Symbolique ou Formel. Dans ce papier, nous présentons un problème posé à la suite de certains calculs que nous avons effectués tout récemment; calculs relatifs à la détermination des polynômes générateurs de nombres de Kostka et de coefficients de Littlewood-Richardson. Le problème en question porte plus généralement sur le degré réel d’un polynôme énumérant les points entiers dans un polytope convexe dilaté par un facteur entier. Nous effectuons quelques démonstrations de calculs à l’aide de MuPAD-Combinat, un package open source pour la combinatoire algébrique en MuPAD.